Toán lớp 11, lớp 12

Bảng đạo hàm và nguyên hàm các hàm số thường dùng

Bảng đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, đạo hàm hàm hợp, bảng nguyên hàm và công thức tích phân xác định. Có tìm kiếm nhanh, ghi chú điều kiện và bài luyện.

Đạo hàm.Đạo hàm của các hàm số sơ cấp

Ký hiệu dùng trong nhóm

$x$ biến số
$C$ hằng số bất kì
$n$ số mũ nguyên dương
$a$ cơ số của hàm mũ hoặc logarit, $a > 0$ và $a \ne 1$
$e$ số Euler, $e \approx 2{,}718$
$(\ \cdot\ )'$ đạo hàm theo biến $x$ của biểu thức trong ngoặc

Hằng số
$(C)' = 0$
Điều kiện, lưu ý: C là hằng số
Hàm x
$(x)' = 1$
Hàm lũy thừa
$(x^n)' = n\,x^{n-1}$
Điều kiện, lưu ý: $n$ là số tự nhiên, $n \ge 2$
Ví dụ: $(x^5)' = 5x^4$ .
Hàm căn
$(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
Điều kiện, lưu ý: $x > 0$
Hàm nghịch đảo
$\left(\dfrac{1}{x}\right)' = -\dfrac{1}{x^2}$
Điều kiện, lưu ý: $x \ne 0$
Hàm sin
$(\sin x)' = \cos x$
Hàm cos
$(\cos x)' = -\sin x$
Hàm tan
$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
Điều kiện, lưu ý: $\cos x \ne 0$
Hàm cot
$(\cot x)' = -\dfrac{1}{\sin^2 x}$
Điều kiện, lưu ý: $\sin x \ne 0$
Hàm mũ cơ số e
$(e^x)' = e^x$
Hàm mũ cơ số a
$(a^x)' = a^x \ln a$
Điều kiện, lưu ý: $a > 0$ , $a \ne 1$
Logarit tự nhiên
$(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$
Điều kiện, lưu ý: $x > 0$
Logarit cơ số a
$(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$
Điều kiện, lưu ý: $x > 0$ , $a > 0$ , $a \ne 1$

Đạo hàm.Quy tắc tính đạo hàm

Ký hiệu dùng trong nhóm

$u,\ v$ hai hàm số của $x$ có đạo hàm: $u = u(x)$ , $v = v(x)$
$u',\ v'$ đạo hàm của $u$ và của $v$
$k$ hằng số
$f,\ g$ hàm ngoài $f$ và hàm trong $g$ của hàm hợp $f(g(x))$

Tổng, hiệu
$(u \pm v)' = u' \pm v'$
Tích
$(u \cdot v)' = u'v + uv'$
Ví dụ: $(x\sin x)' = 1\cdot\sin x + x\cos x$ .
Thương
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Điều kiện, lưu ý: $v \ne 0$
Hằng số nhân hàm
$(k \cdot u)' = k \cdot u'$
Hàm hợp
$\left[f(g(x))\right]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Đạo hàm.Đạo hàm của hàm hợp (u = u(x))

Ký hiệu dùng trong nhóm

$u$ hàm số của $x$ có đạo hàm, $u = u(x)$
$u'$ đạo hàm của $u$ theo $x$
$n$ số mũ
$a$ cơ số, $a > 0$ và $a \ne 1$

Lũy thừa
$(u^n)' = n\,u^{n-1}\,u'$
Ví dụ: $\left[(2x+1)^3\right]' = 3(2x+1)^2\cdot 2 = 6(2x+1)^2$ .
Căn
$(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
Điều kiện, lưu ý: $u > 0$
sin
$(\sin u)' = u' \cos u$
cos
$(\cos u)' = -u' \sin u$
tan
$(\tan u)' = \dfrac{u'}{\cos^2 u}$
cot
$(\cot u)' = -\dfrac{u'}{\sin^2 u}$
Mũ e
$(e^u)' = u'\,e^u$
Mũ a
$(a^u)' = u'\,a^u \ln a$
ln
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$
Điều kiện, lưu ý: $u > 0$

Nguyên hàm.Nguyên hàm của các hàm số thường gặp

Ký hiệu dùng trong nhóm

$\int$ dấu nguyên hàm (tích phân)
$dx$ vi phân, cho biết lấy nguyên hàm theo biến $x$
$C$ hằng số tùy ý (hằng số tích phân)
$\alpha$ số mũ thực
$a$ cơ số, $a > 0$ và $a \ne 1$

Hằng số 0
$\int 0\,dx = C$
Hằng số 1
$\int dx = x + C$
Lũy thừa
$\int x^{\alpha}\,dx = \dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$
Điều kiện, lưu ý: $\alpha \ne -1$
Hàm $\dfrac{1}{x}$
$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$
Điều kiện, lưu ý: $x \ne 0$
Hàm mũ e
$\int e^x\,dx = e^x + C$
Hàm mũ a
$\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$
Điều kiện, lưu ý: $a > 0$ , $a \ne 1$
cos
$\int \cos x\,dx = \sin x + C$
sin
$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$
$\int \dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$
$\int \dfrac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$

Nguyên hàm.Nguyên hàm mở rộng với (ax + b), a ≠ 0

Ký hiệu dùng trong nhóm

$a,\ b$ hằng số, với $a \ne 0$
$\alpha$ số mũ thực
$C$ hằng số tùy ý

Lũy thừa
$\int (ax+b)^{\alpha}\,dx = \dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{a(\alpha+1)} + C$
Điều kiện, lưu ý: $\alpha \ne -1$
Phân thức
$\int \dfrac{dx}{ax+b} = \dfrac{1}{a}\ln|ax+b| + C$
Mũ e
$\int e^{ax+b}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C$
cos
$\int \cos(ax+b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax+b) + C$
sin
$\int \sin(ax+b)\,dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax+b) + C$

Nguyên hàm.Tính chất và tích phân xác định

Ký hiệu dùng trong nhóm

$f(x),\ g(x)$ các hàm số liên tục
$F(x)$ một nguyên hàm của $f(x)$ , tức $F'(x) = f(x)$
$k$ hằng số
$a,\ b$ cận dưới và cận trên của tích phân
$S$ diện tích hình phẳng (đơn vị $\text{đvdt}$ )

Hằng số nhân
$\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx$
Điều kiện, lưu ý: $k \ne 0$
Tổng, hiệu
$\int \left[f(x) \pm g(x)\right]dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$
Newton – Leibniz
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Điều kiện, lưu ý: $F$ là một nguyên hàm của $f$ trên $[a;\,b]$
Ví dụ: $\int_0^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1 - 0 = 1$ .
Diện tích hình phẳng
$S = \int_a^b \left|f(x) - g(x)\right|dx$
Điều kiện, lưu ý: giới hạn bởi hai đồ thị và hai đường $x = a$ , $x = b$

Đạo hàm và nguyên hàm là gì?

Đạo hàm $f'(x)$ cho biết tốc độ thay đổi của hàm số $f$ tại điểm $x$ ; về hình học là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị. Nguyên hàm là phép toán ngược của đạo hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ khi $F'(x) = f(x)$ . Vì $(F + C)' = F'$ nên mọi nguyên hàm của $f$ hơn kém nhau một hằng số $C$ .

Cách dùng bảng

Bấm “Đạo hàm” hoặc “Nguyên hàm” để lọc theo loại; chọn “Tất cả” để xem toàn bộ.
Gõ từ khóa như “sin”, “lũy thừa”, “hàm hợp” để lọc nhanh các công thức liên quan.
Ghi chú dưới mỗi công thức nêu điều kiện xác định, hãy đọc kỹ khi làm bài.

Quy tắc tính đạo hàm

Tổng, tích, thương

(u \pm v)' = u' \pm v', \qquad (uv)' = u'v + uv', \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}

Trong đó

$u,\ v$ hai hàm số của $x$ có đạo hàm: $u = u(x)$ , $v = v(x)$
$u',\ v'$ đạo hàm của $u$ và của $v$ theo $x$
$(\ \cdot\ )'$ phép lấy đạo hàm biểu thức trong ngoặc

Điều kiện: thương chỉ xác định khi $v \ne 0$ . Ví dụ $(x\sin x)' = \sin x + x\cos x$ .

Khi thương có tử là hằng số $k$ thì $\left(\dfrac{k}{v}\right)' = -\dfrac{kv'}{v^2}$ .

Hàm hợp

Với $y = f(u)$ và $u = u(x)$ thì $y' = f'(u) \cdot u'$ . Các công thức “hàm hợp” trong bảng là kết quả của quy tắc này. Ví dụ $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ .

Từ đạo hàm sang nguyên hàm

Mỗi công thức đạo hàm cho một công thức nguyên hàm khi đọc ngược: vì $(\sin x)' = \cos x$ nên $\int \cos x\,dx = \sin x + C$ . Nguyên hàm của $(ax + b)^n$ có thêm hệ số $\dfrac{1}{a}$ , một lỗi rất hay quên.

Tích phân xác định

Công thức Newton – Leibniz

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Trong đó
$f(x)$: hàm số liên tục trên đoạn $[a;\,b]$
$F(x)$: một nguyên hàm bất kì của $f(x)$
$a,\ b$: cận dưới và cận trên của tích phân
$\int_a^b$: ký hiệu tích phân xác định từ $a$ đến $b$

Ví dụ: $\int_0^1 2x\,dx$ có $F(x) = x^2$ nên bằng $F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1$ .

Kết quả không phụ thuộc vào hằng số $C$ . Tích phân được dùng để tính diện tích hình phẳng và thể tích khối tròn xoay.

Luyện tập cùng con

Con làm xong bấm “Kiểm tra” để xem đúng sai. Bản in có chỗ để con viết đáp án.

Câu 1.Đạo hàm của hàm số y = x³ là gì?
Đáp án:
Câu 2.Đạo hàm của y = sin x là gì?
Đáp án:
Câu 3.Đạo hàm của y = ln x (x > 0) là gì?
Đáp án:
Câu 4.Nguyên hàm của f(x) = cos x là gì? (không ghi hằng số C)
Đáp án:
Câu 5.Tính ∫ từ 0 đến 1 của 2x dx.
Đáp án: