TreeKid

Toán lớp 10, lớp 11

Bảng công thức lượng giác và đường tròn lượng giác

Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10, 11: hệ thức cơ bản, góc liên quan, cộng, nhân đôi, tích thành tổng. Có bảng góc đặc biệt và đường tròn lượng giác.

Đường tròn lượng giác

11xy
sin⁡α\sin\alpha
0,5
cos⁡α\cos\alpha
0,866025
tan⁡α\tan\alpha
0,57735
cot⁡α\cot\alpha
1,73205

Góc phần tư thứ I. Đoạn đỏ là sin⁡α\sin\alpha (tung độ), đoạn xanh là cos⁡α\cos\alpha (hoành độ).

Trong đó

  • α\alpha góc lượng giác, tính từ tia OxOx ngược chiều kim đồng hồ; 180∘=π180^\circ = \pi rad
  • MM điểm trên đường tròn đơn vị (bán kính 1) ứng với góc α\alpha
  • sin⁡α\sin\alpha tung độ của điểm MM
  • cos⁡α\cos\alpha hoành độ của điểm MM
  • tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} chỉ xác định khi cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0 (khác 90∘90^\circ, 270∘270^\circ)
  • cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} chỉ xác định khi sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0 (khác 0∘0^\circ, 180∘180^\circ)

Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

ĐộRadiansin⁡\sincos⁡\costan⁡\tancot⁡\cot
0°00001100không xác định
30°π6\dfrac{\pi }{6}12\dfrac{1}{2}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}33\dfrac{\sqrt{3}}{3}3\sqrt{3}
45°π4\dfrac{\pi }{4}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}1111
60°π3\dfrac{\pi }{3}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}12\dfrac{1}{2}3\sqrt{3}33\dfrac{\sqrt{3}}{3}
90°π2\dfrac{\pi }{2}1100không xác định00
120°2π3\dfrac{2\pi }{3}32\dfrac{\sqrt{3}}{2}−12-\dfrac{1}{2}−3-\sqrt{3}−33-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
135°3π4\dfrac{3\pi }{4}22\dfrac{\sqrt{2}}{2}−22-\dfrac{\sqrt{2}}{2}−1-1−1-1
150°5π6\dfrac{5\pi }{6}12\dfrac{1}{2}−32-\dfrac{\sqrt{3}}{2}−33-\dfrac{\sqrt{3}}{3}−3-\sqrt{3}
180°π\pi 00−1-100không xác định
270°3π2\dfrac{3\pi }{2}−1-100không xác định00
360°2π2\pi 001100không xác định

Công thức lượng giác theo nhóm

Hệ thức lượng giác cơ bản

Ký hiệu dùng trong nhóm

  • α\alpha góc lượng giác, tính bằng độ hoặc rađian (rad)

  • Hệ thức Pythagore

    sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

    Điều kiện, lưu ý: đúng với mọi góc α\alpha

    Ví dụ: Nếu sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac{3}{5} thì cos⁡2α=1−925=1625\cos^2\alpha = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}.

  • Định nghĩa tan

    tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

    Điều kiện, lưu ý: cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0

  • Định nghĩa cot

    cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

    Điều kiện, lưu ý: sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0

  • Tích tan và cot

    tan⁡α⋅cot⁡α=1\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1

    Điều kiện, lưu ý: sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0 và cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0

  • Liên hệ tan và cos

    1+tan⁡2α=1cos⁡2α1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}

    Điều kiện, lưu ý: cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0

  • Liên hệ cot và sin

    1+cot⁡2α=1sin⁡2α1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}

    Điều kiện, lưu ý: sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0

Giá trị lượng giác của các góc liên quan

Ký hiệu dùng trong nhóm

  • α\alpha góc bất kì, tính bằng rađian (rad)
  • π\pi số pi, π rad=180∘\pi \text{ rad} = 180^\circ

  • Hai góc đối nhau (−α)(-\alpha)

    cos⁡(−α)=cos⁡α,sin⁡(−α)=−sin⁡αtan⁡(−α)=−tan⁡α,cot⁡(−α)=−cot⁡α\begin{aligned}\cos(-\alpha) &= \cos\alpha, & \sin(-\alpha) &= -\sin\alpha\\ \tan(-\alpha) &= -\tan\alpha, & \cot(-\alpha) &= -\cot\alpha\end{aligned}

  • Hai góc bù nhau (π−α)(\pi-\alpha)

    sin⁡(π−α)=sin⁡α,cos⁡(π−α)=−cos⁡αtan⁡(π−α)=−tan⁡α,cot⁡(π−α)=−cot⁡α\begin{aligned}\sin(\pi-\alpha) &= \sin\alpha, & \cos(\pi-\alpha) &= -\cos\alpha\\ \tan(\pi-\alpha) &= -\tan\alpha, & \cot(\pi-\alpha) &= -\cot\alpha\end{aligned}

  • Hai góc phụ nhau (π2−α)\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)

    sin⁡(π2−α)=cos⁡α,cos⁡(π2−α)=sin⁡αtan⁡(π2−α)=cot⁡α,cot⁡(π2−α)=tan⁡α\begin{aligned}\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) &= \cos\alpha, & \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) &= \sin\alpha\\ \tan\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) &= \cot\alpha, & \cot\left(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\right) &= \tan\alpha\end{aligned}

  • Hai góc hơn kém π\pi (α+π)(\alpha+\pi)

    sin⁡(α+π)=−sin⁡α,cos⁡(α+π)=−cos⁡αtan⁡(α+π)=tan⁡α,cot⁡(α+π)=cot⁡α\begin{aligned}\sin(\alpha+\pi) &= -\sin\alpha, & \cos(\alpha+\pi) &= -\cos\alpha\\ \tan(\alpha+\pi) &= \tan\alpha, & \cot(\alpha+\pi) &= \cot\alpha\end{aligned}

  • Hai góc hơn kém π2\dfrac{\pi}{2} (α+π2)\left(\alpha+\dfrac{\pi}{2}\right)

    sin⁡(α+π2)=cos⁡α,cos⁡(α+π2)=−sin⁡αtan⁡(α+π2)=−cot⁡α,cot⁡(α+π2)=−tan⁡α\begin{aligned}\sin\left(\alpha+\tfrac{\pi}{2}\right) &= \cos\alpha, & \cos\left(\alpha+\tfrac{\pi}{2}\right) &= -\sin\alpha\\ \tan\left(\alpha+\tfrac{\pi}{2}\right) &= -\cot\alpha, & \cot\left(\alpha+\tfrac{\pi}{2}\right) &= -\tan\alpha\end{aligned}

Công thức cộng

Ký hiệu dùng trong nhóm

  • a, ba,\ b hai góc bất kì (độ hoặc rad)
  • ±, ∓\pm,\ \mp dấu trên ở vế trái đi với dấu trên ở vế phải, dấu dưới đi với dấu dưới

  • sin của tổng, hiệu

    sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b

  • cos của tổng, hiệu

    cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b

  • tan của tổng, hiệu

    tan⁡(a±b)=tan⁡a±tan⁡b1∓tan⁡atan⁡b\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}

    Điều kiện, lưu ý: các tan đều xác định, mẫu khác 0

Công thức nhân đôi, nhân ba, hạ bậc

Ký hiệu dùng trong nhóm

  • aa góc bất kì (độ hoặc rad); các biểu thức có tan chỉ dùng khi tan xác định

  • sin 2a

    sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a\cos a

    Ví dụ: sin⁡60∘=2sin⁡30∘cos⁡30∘=2⋅12⋅32=32\sin 60^\circ = 2\sin 30^\circ\cos 30^\circ = 2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

  • cos 2a

    cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a

  • tan 2a

    tan⁡2a=2tan⁡a1−tan⁡2a\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 - \tan^2 a}

  • sin 3a

    sin⁡3a=3sin⁡a−4sin⁡3a\sin 3a = 3\sin a - 4\sin^3 a

  • cos 3a

    cos⁡3a=4cos⁡3a−3cos⁡a\cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a

  • Hạ bậc sin

    sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2}

  • Hạ bậc cos

    cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}

Biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích

Ký hiệu dùng trong nhóm

  • a, ba,\ b hai góc bất kì (độ hoặc rad)

  • cos a cos b

    cos⁡acos⁡b=12[cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b)]\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right]

  • sin a sin b

    sin⁡asin⁡b=12[cos⁡(a−b)−cos⁡(a+b)]\sin a\sin b = \dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b) - \cos(a+b)\right]

  • sin a cos b

    sin⁡acos⁡b=12[sin⁡(a−b)+sin⁡(a+b)]\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[\sin(a-b) + \sin(a+b)\right]

  • cos a + cos b

    cos⁡a+cos⁡b=2cos⁡a+b2cos⁡a−b2\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}

  • cos a − cos b

    cos⁡a−cos⁡b=−2sin⁡a+b2sin⁡a−b2\cos a - \cos b = -2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}

  • sin a + sin b

    sin⁡a+sin⁡b=2sin⁡a+b2cos⁡a−b2\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}

  • sin a − sin b

    sin⁡a−sin⁡b=2cos⁡a+b2sin⁡a−b2\sin a - \sin b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}

Hệ thức trong tam giác ABC

Ký hiệu dùng trong nhóm

  • a, b, ca,\ b,\ c độ dài ba cạnh BCBC, CACA, ABAB của tam giác ABCABC
  • A, B, CA,\ B,\ C ba góc của tam giác, đối diện với cạnh cùng tên chữ thường
  • RR bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
  • SS diện tích tam giác (đơn vị cm2\mathrm{cm^2})

  • Định lí sin

    asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R

    Điều kiện, lưu ý: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp

  • Định lí cos

    a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

    Ví dụ: Với b=3b = 3, c=4c = 4, A=90∘A = 90^\circ: a2=9+16−0=25a^2 = 9 + 16 - 0 = 25 nên a=5a = 5.

  • Diện tích theo sin

    S=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡BS = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B

Lượng giác và đường tròn lượng giác

Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị tâm O, bán kính 1. Với mỗi góc α\alpha, điểm M trên đường tròn có hoành độ cos⁡α\cos\alpha và tung độ sin⁡α\sin\alpha. Từ đó

tan⁡α=sin⁡αcos⁡α,cot⁡α=cos⁡αsin⁡α\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, \qquad \cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}

Trong đó α\alpha là góc lượng giác (độ hoặc rađian); tan⁡α\tan\alpha chỉ xác định khi cos⁡α≠0\cos\alpha \ne 0 (α≠90∘+k⋅180∘\alpha \ne 90^\circ + k\cdot 180^\circ, kk nguyên), còn cot⁡α\cot\alpha chỉ xác định khi sin⁡α≠0\sin\alpha \ne 0. Ví dụ tan⁡45∘=sin⁡45∘cos⁡45∘=2/22/2=1\tan 45^\circ = \dfrac{\sin 45^\circ}{\cos 45^\circ} = \dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1.

Nhìn trên đường tròn sẽ thấy dấu của các giá trị lượng giác thay đổi theo góc phần tư.

Cách dùng trang này

  • Kéo thanh trượt hoặc bấm góc đặc biệt để xem sin⁡\sin, cos⁡\cos, tan⁡\tan, cot⁡\cot và điểm M di chuyển.
  • Bảng góc đặc biệt cho giá trị chính xác của 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 270°, 360°.
  • Danh sách công thức chia theo nhóm; gõ vào ô tìm kiếm để lọc, ví dụ “nhân đôi” hay “tích”.

Dấu của các giá trị lượng giác

  • Góc phần tư I: sin, cos, tan, cot đều dương.
  • Góc phần tư II: chỉ sin dương.
  • Góc phần tư III: chỉ tan và cot dương.
  • Góc phần tư IV: chỉ cos dương.

Mẹo ghi nhớ công thức

Góc đặc biệt

Với sin của 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, viết các giá trị 02,12,22,32,42\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}. Cos cho cùng dãy nhưng ngược thứ tự. Nhờ vậy chỉ cần nhớ một dãy số.

Công thức cộng và các hệ quả

Từ công thức cộng, thay b=ab = a ta có công thức nhân đôi; thay cos⁡2a=2cos⁡2a−1\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 và cos⁡2a=1−2sin⁡2a\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a ta có công thức hạ bậc. Hiểu mối liên hệ này giúp bạn khôi phục công thức khi quên.

Kết quả trong công cụ là giá trị tính bằng máy, làm tròn đến 6 chữ số có nghĩa. Bảng góc đặc biệt dùng giá trị chính xác dưới dạng căn.

Luyện tập cùng con

Con làm xong bấm “Kiểm tra” để xem đúng sai. Bản in có chỗ để con viết đáp án.

  1. Câu 1.sin 30° bằng bao nhiêu?

  2. Câu 2.cos 60° bằng bao nhiêu?

  3. Câu 3.Nếu sin α = 3/5 thì cos² α bằng bao nhiêu? (gõ phân số dạng a/b)

  4. Câu 4.sin 2a bằng 2 sin a nhân với gì?

  5. Câu 5.Đổi 180° ra radian.